Successioni

Tranquilli, nessuno zio d'America mi ha lasciato una miniera d'oro sulla quale devo pagare le tasse. Sto parlando delle successioni in senso matematico. Visto che mi state leggendo, presumibilmente avete familiarità con questi oggetti; mi limito ad un richiamo.

Definizione. Una successione (di numeri reali, per semplicità) è una qualunque funzione $\mathbb{N} \to \mathbb{R}$.

Dovrebbe essere chiaro che una successione è una funzione, giusto? E allora perché non trovo uno studente, nemmeno a pagarlo a peso d'oro, che mi risponda correttamente in sede d'esame? Per la maggioranza degli studenti sembra che una successione sia soprattutto un insieme di numeri, e puntualmente ho sentito qualcuno dire che "l'intervallo $[0,1]$ è una particolare successione".

A parte queste esagerazioni, ben pochi giovani distinguono la successione

1, 2, 3, 4, 5, ...

da

1, 3, 2, 4, 5, ...

Non mi sorprende, visto che $\{1,2,3,4,5,\ldots\} = \{1,3,2,4,5,\ldots\}$ in quanto insiemi. Ma le due successioni sono diverse!

Questa mattina sono entrato in aula e ho declamato la suddetta definizione di successione. Ho ripetuto che le successioni sono funzioni, ovviamente. E sono certo che tanti studenti dichiareranno sotto giuramento che una successione è un insieme di numeri, eventualmente allineati. Eventualmente?