Indefinito e indeterminato

Avvertenza: questo post parla di matematica.

Frequentando la comunità di math.stackexchange.com, mi imbatto in alcune domande che destabilizzano le mia convinzioni. Proprio stasera un tizio chiedeva quale fosse la differenza fra un'operazione indefinita e un'operazione indeterminata. La domanda mi è parsa subito peregrina, e da matematico stavo per rispondere che un'operazione è definita per definizione (scusate il giuoco di parole), e non può essere indeterminata perché è fondamentalmente una funzione. Mentre riflettevo in questi termini, salta fuori che il professore di tizio si riferiva ai limiti. Già, i limiti.

Compreso che si parlava di limiti indefiniti e limiti indeterminati, un altro tizio che chiamerò Caio risponde che $2/x$ è indefinita, perché possiamo associare ad essa la relazione $\lim_{x \to 0} 2/x$ e poiché questo limite non è definito parliamo di operazione indefinita. Sarà, ma mi pare un cumulo di str******. Però mi sembra che si possa sorvolare. Al contrario la faccenda dell'indeterminazione mi ha destabilizzato.

Che cos'è una forma indeterminata? Oddio, dovrei saperlo come il mio nome, eppure fatico a dare una definizione. Nella teoria dei limiti, le forme indeterminate a mio parere non esistono. Un limite esiste o non esiste (finito o infinito mediante la parziale algebrizzazione della retta reale estesa), ma non ci sono limiti indeterminati. Ad esempio, tutti noi docenti di analisi matematica diciamo in aula che $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{x+2}$$ è una forma indeterminata del tipo $[\infty/\infty]$. Ma quel limite esiste e vale uno, altro che indeterminato! Invece $$\lim_{x \to +\infty} \left( x+\sin x \right)-x$$ non esiste, sebbene si presenti nella cosiddetta forma indeterminata $[+\infty-\infty]$.

In ultima analisi, giunto a questa fase del mio percorso formativo di matematico, non so più se sia "moralmente" corretto parlare ai miei studenti di forme indeterminate. Fateci caso: i libri rigorosi come quello di Walter Rudin non credo usino mai certe terminologie, che descrivono solo situazioni che sfuggono ai teoremi generali più immediati ma che conservano tutta la loro dignità di esistere.

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