Pedagogia del calcolo differenziale

Praticamente a mia insaputa (no, nessuno mi ha intestato un appartamento di lusso con vista sul Colosseo, ma) sono stato iscritto al forum matheducators. Ho dato uno sguardo, e mi sono soffermato sull'interessante thread When should we get into limits in introductory calculus courses? Riassumendo, la domanda è: perché noi docenti di analisi matematica fondiamo i nostri corsi di calcolo differenziale sulla definizione di limite?
Una risposta alla domanda, di Ben Crowell, mi ha dato l'occasione di riflettere sul problema. Crowell sostiene, anche giustamente, che la pedagogia della matematica non è molto diversa dalla filosofia del marketing: il modo migliore per avere soddisfazione ed evitare guai è quello di essere mainstream. Poiché la corrente di pensiero dominante prevede lo schema limiti-derivate-integrali, praticamente tutti aderiscono allo standard. E suggerisce alcune letture (si veda il thread) dove il calcolo differenziale è spiegato a partire dalle flussioni e dagli infinitesimi.

Insegnando da quasi dieci anni il calcolo differenziale, conoscevo già alcuni dei testi... alternativi. E conoscevo già la cosiddetta analisi non-standard, dove l'idea intuitiva di quantità infinitesima (o infinitesimale) riceve una definizione rigorosa. Il fatto però, a mio modestissimo avviso, è che l'intera discussione è basata sull'ipotesi che agli studenti del corso di calcolo infinitesimale debba essere detto non più di quanto servirà alle loro future professioni: cito la frase provocatoria di Ben Crowell nella sua risposta

I do have a very hard time coming up with any other explanation for why we require future physical therapists to learn how to do integrals using trig substitutions.

Con questa ipotesi, posso convenire che un approccio più storico, magari meno rigoroso, risulti anche conveniente. Personalmente però contesto la validità di dover partire da questo assunto. Per restare in tema, il concetto di limite non appartiene esclusivamente al calcolo infinitesimale, bensì alla topologia generale. Ogni volta che un insieme è dotato di un'opportuna struttura (una topologia, appunto), è perfettamente sensato introdurre la definizione di limite. Tale definizione non godrà istantaneamente di tutte le belle proprietà imparate nel primo corso di analisi matematica, ma ne costituisce una diretta estensione. Sono ignorante e non so se l'analisi non-standard sia seguita da una topologia non-standard (!), ma trovo che la pedagogia del paraocchi (allo studente non serve vedere oltre quello che gli servirà) sia piuttosto spiacevole.

Nella mia esperienza didattica, una malattia che sta sfuggendo al controllo del medici/docenti è l'incapacità di visualizzare il filo che congiunge i vari insegnamenti: algebra, analisi matematica, fisica matematica, geometria non sono settori impermeabili. Il teorema di Stokes che spiega il docente di geometria differenziale deve essere confrontato con i teoremi del calcolo vettoriale imparati nel corso di analisi matematica. Le equazioni differenziali della fisica matematica non sono avulse dalle equazioni differenziali che studiano gli analisti matematici.
Purtroppo i nostri studenti, anche quelli dei corsi di laurea in matematica, faticano a unire le tessere del puzzle in un quadro d'insieme.

Secondo me, un buon approccio alla didattica della matematica dovrebbe comunque consentire una facile scalabilità: chi ha costruito il primo piano, dovrebbe essere nelle condizioni di costruire il secondo, senza dover ripartire dalle fondamenta. Parlare di calcolo infinitesimale senza introdurre i limiti consente di arrivare alla fine di un corso di base, ma difficilmente fornisce una preparazione scalabile. E probabilmente dovremmo ritrovare la forza di dire ai nostri studenti che il processo di apprendimento non è un gioco dove tutti vincono facile.