Insegnando calcolo differenziale alle matricole, si impara che i passaggi più scivolosi del corso sono quelli relativi alla convenzioni. Perché i contenuti sono davvero classici, ma in certe situazioni prevale il gusto personale e l'abitudine; e qui casca l'asino. Volete un esempio? Eccolo.
Esercizio. Calcolare \lim_{x \to 0} (\sin x)^x.
Scommettete quello che volete: ci sarà sempre una studentessa della prima fila (non so perché, ma le studentesse della prima fila sono quelle più attente e precise) che alzerà la mano per segnalare che questo esercizio non ha senso. Perché? Beh, ma è ovvio: perché (\sin x)^x è una potenza con base variabile ed esponente variabile, dunque si conviene che la base debba essere strettamente positiva. Giusto, naturalmente. Quindi \sin x>0, e siccome ci interessa x \to 0, possiamo pensare x>0. Eh, ma allora il limite è insensato, perché l'enunciato richiede il limite da destra e da sinistra!
Un esempio ancora più facile è \lim_{x \to 0} x \log x.
Che dire? Bisogna premiare questo genere di intervento, oppure stroncarlo? Io confesso di non sapere mai come comportarmi. Da una parte è un buon segnale, che qualche studente abbia rilevato il dilemma. Dall'altro si tratta di una difficoltà assai ottusa, che aggiunge solo rigidità e crea ostacoli alla comprensione. Matematicamente, la definizione di limite è la seguente (in ambito metrico).
Definizione. Sia E un sottoinsieme di uno spazio metrico X, e sia Y uno spazio metrico. Data una funzione f \colon E \to Y e un punto di accumulazione x_0 per E, diciamo che \lim_{x \to x_0} f(x) = L se, per ogni \varepsilon>0 esiste \delta>0 tale che d_Y(f(x),L)<\varepsilon ogni volta che x \in E e 0<d_X(x,x_0)<\delta.
Scegliendo X=Y=\mathbb{R} e E=(a,b), deduciamo che \lim_{x \to a} f(x) ha perfettamente senso, e coincide con \lim_{x \to x_0+} f(x) nella notazione scolastica. E tutto ciò è naturale: il limite descrive il comportamento di f(x) quando x si avvicina ad x_0 lungo valori contenuti nel dominio di definizione di E. Se E forza in qualche modo x a muoversi verso x_0 per eccesso o per difetto, che importa?
Eppure ho colleghi che sfruttano queste ambiguità per distribuire insufficienze nei test e nei quiz. Avranno le loro buone ragioni, ma temo che queste interpretazioni così rigide trasmettano un'idea inquietante e burocratica della matematica.
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