Questo limite non esiste

Insegnando calcolo differenziale alle matricole, si impara che i passaggi più scivolosi del corso sono quelli relativi alla convenzioni. Perché i contenuti sono davvero classici, ma in certe situazioni prevale il gusto personale e l'abitudine; e qui casca l'asino. Volete un esempio? Eccolo.

Esercizio. Calcolare $$\lim_{x \to 0} (\sin x)^x.$$

Scommettete quello che volete: ci sarà sempre una studentessa della prima fila (non so perché, ma le studentesse della prima fila sono quelle più attente e precise) che alzerà la mano per segnalare che questo esercizio non ha senso. Perché? Beh, ma è ovvio: perché $(\sin x)^x$ è una potenza con base variabile ed esponente variabile, dunque si conviene che la base debba essere strettamente positiva. Giusto, naturalmente. Quindi $\sin x>0$, e siccome ci interessa $x \to 0$, possiamo pensare $x>0$. Eh, ma allora il limite è insensato, perché l'enunciato richiede il limite da destra e da sinistra!
Un esempio ancora più facile è $$\lim_{x \to 0} x \log x.$$

Che dire? Bisogna premiare questo genere di intervento, oppure stroncarlo? Io confesso di non sapere mai come comportarmi. Da una parte è un buon segnale, che qualche studente abbia rilevato il dilemma. Dall'altro si tratta di una difficoltà assai ottusa, che aggiunge solo rigidità e crea ostacoli alla comprensione. Matematicamente, la definizione di limite è la seguente (in ambito metrico).

Definizione. Sia $E$ un sottoinsieme di uno spazio metrico $X$, e sia $Y$ uno spazio metrico. Data una funzione $f \colon E \to Y$ e un punto di accumulazione $x_0$ per $E$, diciamo che $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ se, per ogni $\varepsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che $d_Y(f(x),L)<\varepsilon$ ogni volta che $x \in E$ e $0<d_X(x,x_0)<\delta$.

Scegliendo $X=Y=\mathbb{R}$ e $E=(a,b)$, deduciamo che $\lim_{x \to a} f(x)$ ha perfettamente senso, e coincide con $\lim_{x \to x_0+} f(x)$ nella notazione scolastica. E tutto ciò è naturale: il limite descrive il comportamento di $f(x)$ quando $x$ si avvicina ad $x_0$ lungo valori contenuti nel dominio di definizione di $E$. Se $E$ forza in qualche modo $x$ a muoversi verso $x_0$ per eccesso o per difetto, che importa?

Eppure ho colleghi che sfruttano queste ambiguità per distribuire insufficienze nei test e nei quiz. Avranno le loro buone ragioni, ma temo che queste interpretazioni così rigide trasmettano un'idea inquietante e burocratica della matematica.

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