Convessità

Quest'oggi, post a contenuto didattico-scientifico. Il fatto è che domani devo spiegare le funzioni convesse ai miei studenti, e ogni anno affronto gli stessi dilemmi: come definirle? Meglio essere rigorosi o intuitivi?
Per un matematico smaliziato, una funzione $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ è convessa se, per ogni $x_1$, $x_2 \in (a,b)$ e ogni $\lambda \in [0,1]$, vale la disuguaglianza $$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda) f(x_2).$$
Se la metto giù così, sono certo che nessuno dei miei studenti capirà che $x \mapsto x^2$ è convessa ma che $x \mapsto \log x$ non lo è.

In effetti tanti manuali di matematica elementare ciurlano nel manico quando arrivano al capitolo della convessità. I più arditi mettono la disuguaglianza scritta sopra, molti propongono l'interpretazione (equivalente) del grafico che giace al di sotto della corda che unisce i punti estremi, qualcuno si spinge alla definizione (sempre equivalente) della convessità dell'epigrafico. Ma pressoché tutti gli autori di testi scolastici ed universitari si affrettano ad offrire i noti criteri di convessità: la monotonia della derivata prima e il segno della derivata seconda.

Io ricordo ancora con un certo disagio qualche volumone di matematica generale, dove la definizione di convessità era offerta per le funzioni di classe $C^2$. Questa scelta di comodo introduceva una dimensione parallela di funzioni meno regolari che tutti vorremmo chiamare convesse, ma che non possiamo chiamare così perché non sono derivabili. I docenti impegnati a spiegare su quei testi dovevano essere devoti all'agnosticismo, per rispondere che $x \mapsto |x|$ non è convessa in quanto non derivabile.

Mentre scrivo queste parole, capisco che la lezione più onesta intellettualmente deve proporre una definizione moderna e generale. Quindi farò così: racconterò la disuguaglianza di convessità aiutandomi con il grafico, poi cercherò di trasmettere l'idea alla base dei criteri differenziali. Non so se gli studenti apprezzeranno (sicuramente molti preferirebbero una definizione basata sulla derivata seconda, perché tanto non useranno altro che quella), ma pazienza.

Ah, piccola nota a margine. Quando la smetteranno, gli autori di libri di matematica, di parlare di funzione con la concavità verso l'alto? Si chiamano funzioni convesse e funzioni concave, mannaggia a voi!

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