La perfezione dei teoremi

Stamattina ho letto questo post sul blog della scrittrice (e novella Ph.D. in astrofisica) Licia Troisi. Quando sono arrivato alla descrizione della lode mancata per aver confuso i periodi delle RR Lyrae, mi è tornata in mente una frase ascoltata dalla voce del mio professore di Fisica Matematica (anno del Signore 1997, più o meno):
Non importa ricordare le dimostrazioni dei teoremi, ma è indispensabile ricordarne gli enunciati.

Questa teoria non mi ha mai convinto, e men che mai potrei penalizzare uno studente che confonde, in sede d'esame, un contenuto puramente convenzionale. Prendiamo, a titolo di esempio, il celebre teorema di esistenza degli zeri per una funzione continua $latex f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.
Teorema. Ogni funzione continua, definita in un intervallo $latex [a,b]$, che cambia segno agli estremi dell'intervallo, possiede almeno uno zero interno all'intervallo.

Questo teorema, invero utile, possiede almeno due dimostrazioni più interessanti ed utili dell'enunciato stesso. Sia che si dimostri con un metodo di bisezione, sia che si scelga l'approccio topologico basato sulla connessione degli intervalli, l'argomento dimostrativo arricchisce la mente più della memorizzazione del testo. Potrei fare esempi più raffinati, ma sarebbe superfluo. Il messaggio della matematica, secondo me, è che la comprensione è più potente della lettura.

D'accordo, se uno studente sostiene che tutte le funzioni continue sono derivabili, è un brutto segnale; ma occorrerebbe approfondire ed escludere la confusione linguistica causata, forse, dalla tensione nervosa. D'altronde, quante volte ho ripetuto l'aggettivo sbagliato durante un seminario, semplicemente perché ero nervoso e le parole uscivano più veloci delle connessioni sinaptiche!

Il bello della matematica, per fortuna, è che non esistono matematici perfetti ma nemmeno teoremi perfetti. Tutto ha un contesto, tutto ha una validità dalla quale non possiamo prescindere. Prima i giovani scienziati se ne fanno una ragione, prima smetteranno di aver paura della matematica.

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