Errori ed orrori comuni

A costo di sembrare un vecchio brontolone rimbambito, vorrei evidenziare alcuni tipici svarioni in cui gli studenti incorrono frequentemente. Troppo frequentemente.

1. Una successione non è un insieme di numeri reali. In particolare, $latex [a,b]$ non è una successione. Una successione (di numeri reali) è una funzione, definita (almeno per semplicità) sull'insieme $latex \mathbb{N}$ dei numeri naturali!


2. Il limite di funzione $latex \lim_{x \to x_0} f(x)$ non è sempre $latex f(x_0)$. A meno che voi non abbiate studiato a Brescia. Più in generale, bisogna definire i limiti, prima di cercare di calcolarli.


3. La derivata non è il rapporto incrementale. Semmai è il limite del rapporto incrementale;  ma non è un limite qualsiasi del rapporto incrementale, per esempio l'orrendo $latex \lim_{h \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{h}$. Una funzione continua non è per forza derivabile, e soprattutto esistono funzioni che non sono affatto derivabili pur essendo continue.


4. Data una fuzione $latex f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$, una primitiva di $latex f$ non è "il suo integrale indefinito". A meno che non sappiate costruire l'integrale indefinito senza usare la definizione di funzione primitiva, ovviamente. Fra tutte le primitive $latex F(\cdot) + C$ di una funzione $latex f$ assegnata, quella corrispondente a $latex C=0$ non è "la primitiva principale", terminologia inesistente fuori dalle aule della scuola superiore risorgimentale.


5. La definizione di continuità nel punto $latex x_0$ non è $latex \lim_{x \to x_0-} f(x)=\lim_{x \to x_0+} f(x)=\lim_{x \to x_0} f(x)$.


6. La definizione di $latex \lim_{x \to x_0} f(x)=+\infty$ non è "$latex f$ possiede un asintoto verticale".


7. Nei corsi di Calculus compaiono due lettere greche: $latex \varepsilon$ e $latex \delta$. Non è difficile ricordarne i nomi, e nemmeno la grafia. In particolare, $latex \delta$ non si legge "sigma".


8. Alla domanda "Quante primitive possiede una generica funzione?" non si risponde "Tante!"


9. La definizione di "punto di massimo" per una funzione non è: "Quando la funzione cresce e poi decresce".


10. Alla domanda "Mi disegni una funzione (reale di una variaible reale) costante" occorre rispondere con una certa prontezza. E, possibilmente, anche in modo corretto. In particolare, "costante" non è sinonimo di "continua". Ancora più in particolare, una funzione non è costante quando "in ogni punto assume un determinato valore, ben preciso". Questa è la definizione, un po' divulgativa, di funzione qualunque.


11. Se, alla fine di un'interrogazione, non avete saputo: (a) che cosa sia una successione, (b) che cosa sia un limite di funzione, (c) che cosa sia il teorema di Weierstrass, e magari anche (d) perché per voi $latex \int_{-1}^1 \frac{dx}{x^2}$ è un integrale come gli altri, vi prego di non supplicarmi di farvi "una domanda in più perché volevo prendere 28".