Unicità

Oggi mi è stato sottoposto il seguente problema: consideriamo due funzioni continue $f \colon (a,b) \to \mathbb{R}$ e $g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Supponiamo anche che $g$ sia di classe $C^1$, e che $g(x_0)=0$ per qualche $x_0 \in \mathbb{R}$. Fissato $t_0 \in (a,b)$, perché il problema di Cauchy $$\begin{cases} x' = f(t)g(x) \\ x(t_0)=x_0 \end{cases}$$ possiede una sola soluzione costante?

A volte mi domando perché il concetto di funzione costante sia così difficile da afferrare.