Incolliamo le derivate?

Uno degli abiti mentali più difficili da estirpare nei giovani studenti universitari è quello della derivabilità per le funzioni definite a tratti. Per esemplificare, immaginiamo che una funzione $f \colon [-1,1] \to \mathbb{R}$ sia definita come segue:

$$f(x)=\begin{cases} p(x) &\text{se $-1 \leq x \leq 0$} \\ q(x) &\text{se $0<x \leq 1$},\end{cases}$$ dove $p$ e $q$ sono due funzioni derivabili in $[-1,1]$.

Tutte le matricole si convincono rapidamente che $f$ è continua in $x=0$ se e solo se $p(0)=q(0)$ (o, più propriamente, $p(0)=\lim_{x \to 0-}q(x)$). Quando devono affrontare la derivabilità, iniziano i drammi.

Io non so se sia colpa degli insegnanti delle scuole superiori, oppure se sia una manifestazione di quel principio di semplificazione che spinge taluni a scrivere $(a+b)^2=a^2+b^2$ solo perché la formula corretta è troppo complicata. Fatto si è che prevalgono gli studenti che si affidano a questo ragionamento fallace:

La funzione $f$ è derivabile in $x=0$ se, e solo se, $\lim_{x \to 0-}p'(x)=\lim_{x \to 0+}q'(x)$.

Orbene, sorvolando sul fatto che innanzitutto bisognerebbe accertarsi della continuità di $f$, quella scritta sopra non è una condizione necessaria e sufficiente per la derivabilità in $x=0$. Uno dei limiti delle derivate potrebbe non esistere, ma questo non impedirebbe ad $f$ di essere derivabile.

In questi casi, occorre rifarsi alla definizione di derivata, e verificare che

$$\lim_{h \to 0-} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0+}  \frac{f(h)-f(0)}{h}$$ siano finiti. Fra l'altro, il calcolo della derivate sinistre e destre non è necessariamente più complesso del calcolo dei limiti delle derivate di $p$ e $q$. 

Chi non fosse convinto, rifletta sulla funzione $f \colon [-1,1] \to \mathbb{R}$ definita dalla formula

$$f(x)=\begin{cases} 0 &\text{se $-1 \leq x \leq 0$} \\ x^2 \sin \frac{1}{x} &\text{se $0<x \leq 1$}. \end{cases}$$