Analisi Due

Se siete capitati qui pensando di leggere un post di psicanalisi, vi avverto che resterete delusi perché parlerò di matematica. Analisi Due è la denominazione colloquiale del secondo corso di analisi matematica per le lauree scientifiche, soprattutto matematica, fisica, ingegneria. Ai tempi che Berta filava, cioè quando studiavo io, questo corso era un mattone fondamentale (mattone è qui inteso in un doppio senso figurato, se cogliete la finezza) del secondo anno, e trattava di argomenti classici: successioni e serie di funzioni, calcolo differenziale in $\mathbb{R}^N$, forme differenziali (quelle che i geometri chiamano, più correttamente, $1$-forme), equazioni differenziali ordinarie, e infine integrazione in più variabili. Era un corso annuale alquanto difficile, in cui il prof. Casini (docente a Como) distribuiva insufficienze senza pietà. Per quanto mi riguarda, mi ero divertito un sacco, e ho iniziato a capire che avrei cercato di diventare un analista matematico con propensione all'analisi funzionale. Ma bando alla memorialistica: oggi parliamo di libri.

Libri di testo di analisi due, ovviamente. Ho avuto occasione di visionarne alcuni, e sono sprofondato nello sconforto. Uno di tali libri (non farò nomi né titoli) descrive il sottotitolo "Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea" in questo modo: tradizionalmente i libri introducono il calcolo differenziale e il calcolo integrale in $\mathbb{R}^N$, mentre noi, per assecondare le necessità dei nuovi programmi di insegnamento, presentiamo soltanto il calcolo differenziale e il calcolo integrale in $\mathbb{R}^2$. Ah però, siete dei veri rivoluzionari!

Altri testi puntano le fiches sull'assenza delle dimostrazioni, eterna scappatoia per far sembrare la matematica una sorta di fenomeno mistico per iniziati. Non ho mai trovato un libro, dopo quello di De Marco, che parli di calcolo differenziale in dimensione infinita (pur essendo sorprendentemente facile dotare gli allievi matematici e fisici dei requisiti per comprenderlo) o di integrale secondo Lebesgue senza investire ore nella costruzione obsoleta e fragile dell'integrale multidimensionale secondo Riemann. Michel Willem, un matematico contemporaneo che, dal punto di vista dell'esposizione didattica considero un po' un maestro, ha scritto anni fa un illuminante articolo sull'integrazione secondo Lebegue immediatamente dopo il corso di calcolo. Sfortunatamente i suoi testi non sono mai stati tradotti in italiano, dove si riproducono come conigli di Fibonacci i volumi consacrati alla conservazione della tradizione. Come se un matematico o un fisico potesse lavorare senza sapere che l'universo fisico è governato da principi variazionali e da operatori definiti su spazi di dimensione infinita mediante l'integrale di Lebesgue...

L'ho già scritto e lo ripeto: il vero veleno, per l'efficacia della didattica della matematica superiore, è la frammentazione dei contenuti. Per fare il matematico bisogna avere ormai una cultura estremamente solida e, allo stesso tempo, aggiornata. Le fondamenta dell'edificio sono quei corsi di analisi matematica, algebra, geometria che riempivano il biennio della vecchia laurea quadriennale. I docenti di questi corsi avevano un anno per esporre i contenuti, conoscendo con sufficiente sicurezza i dati al contorno. Si appoggiavano a manuali completi, di riferimento.
Oggi questi stessi insegnamenti sono spezzati in più corsi, impartiti su due semestri da docenti distinti ed autonomi. Si è perso l'aspetto monolitico della disciplina, e gli studenti faticano a cogliere che, in fondo, esiste un unico concetto di successione convergente. Allo stesso modo il teorema della divergenza è un caso particolare del teorema di Stokes imparato nel corso di geometria, e l'integrale delle forme differenziali è una variante dell'integrale insegnato dal docente di analisi matematica.

Si parla tanto, fra matematici, della necessità di una visione globale della scienza. Ma siamo sicuri di offrire, ai nostri studenti, almeno una visione globale della matematica?