Abuso di notazione

In questi giorni ho avuto un interessante scambio di opinioni sul newsgroup it.scienza.matematica.
Il tema era quello degli abusi di notazione (si veda la pagina italiana o quella, più completa, inglese di Wikipedia per farsi un'idea della materia). Per essere concisi, un abuso di notazione, in matematica, è il fenomeno secondo cui è utilizzata una notazione non totalmente coerente o precisa, ma che tutavia migliora la comprensione o la leggibilità del testo.
Un esempio particolarmente famoso? Quello delle funzioni: quanti matematici usano espressioni come

Sia $f(x)$ una funzione...

al posto della versione più corretta

Sia $f$ una funzione...?

Il simbolo $f(x)$ è naturalmente il valore che la funzione $f$ assume quando la calcoliamo in $x$, ma ci piace confonderla con la funzione stessa per... abuso di notazione. D'altronde, è innegabile che la frase

Sia $f(x)=x^3$

risulti molto più stringata che

Sia $f$ la funzione reale di una variabile reale, che ad ogni $x \in \mathbb{R}$ associa $f(x)=x^3$.

Un altro esempio, ancora più sottile, è quello delle serie numeriche: tutti i matematici scrivono $$\sum_{n=1}^\infty a_n$$ per indicare una serie di termine generale $a_n$, e commettono un mastodontico abuso di notazione. A rigore, una serie numerica è la successione formata dalle somme parziali dei termini della successione $\{a_n\}_n$, e come tale è, a sua volta, una successione. La notazione comune, al contrario, lascia intendere che una serie sia un numero (finito o infinito, e qui commettiamo forse un ulteriore abuso nell'abuso). E però nessun matematico cade preda di una crisi di coscienza per questo.

La discussione sul newsgroup nasceva da un altro ente matematico piuttosto popolare nei settori vicini alla fisica, quello di derivata totale. Innanzitutto non è chiaro che cosa significhi, ma tutti gli studenti di matematica e fisica hanno incontrato almeno una volta la formula
$$
\frac{du}{dt}  = \sum_{j=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_j}\frac{d x_j}{dt}.
$$
Dov'è l'abuso? Ovviamente (ma non sembra così ovvio, leggendo le reazioni) nel fatto che la lettera $u$ assume due significati differenti a sinistra e a destra del segno di uguaglianza. A sinistra sembra essere una funzione della variabile $t$, mentre a destra è una funzione di $n$ variabili $x_1$,..., $x_n$ (ciascuna delle quali è funzione di $t$, come insito nella derivata $dx_j/dt$). Queste cose sono anche il pane quotidiano degli studiosi di Calcolo delle Variazioni, dove gli oggetti fondamentali sono le cosiddette funzioni lagrangiane, tipicamente funzioni di tre variabili
$$
\mathcal{L}=\mathcal{L}(x,u,p),
$$
dove $x \in \mathbb{R}^N$, $u \in \mathbb{R}^M$ e $p \in \mathbb{R}^{NM}$. Quasi sempre sussiste un legame fra le tre variabili, ad esempio $u=u(x)$ e $p=Du(x)$, e questo spinge a leggere $\mathcal{L}$ come una funzione dell'unica variabile $x$, ma rigorosamente si tratta dell'identificazione un po' abusiva di una funzione di più variabili calcolata in un sottoinsieme particolare $(x,u(x),Du(x))$ con una funzione reale di una variabile reale.

Dov'è il problema? Non c'è alcun problema, almeno per un matematico maturo. Ma bisogna fare molta attenzione quando si insegna matematica; gli studenti, tipicamente, non sono pronti a sciogliere le notazioni abusive e a ricondurle al loro senso preciso, e tendono a restare intrappolati nei calcoli meccanici. Tipico è il caso delle equazioni differenziali ordinarie a variabili separabili. Per comodità di esposizione, immaginiamo di avere l'equazione differenziale ordinaria
$$
y' = \frac{f'(x)}{g'(y)}.
$$
Il primo abuso di notazione è evidente: a sinistra c'è il nome di una funzione, e a destra c'è un ibrido. Meglio sarebbe scrivere
$$
y'(x)=\frac{f'(x)}{g'(y(x))},
$$
ma sorvoliamo. A questo punto, i manuali dicono di scrivere $y'=\frac{dy}{dx}$, sicché l'equazione diventa
$$
\frac{dy}{dx}=\frac{f'(x)}{g'(y)};
$$
poi togliamo i denominatori:
$$
g'(y)\, dy = f'(x)\, dx.
$$
Peccato però che $dy/dx$ non sia una frazione numerica, ma un simbolo per la derivata. E poi, che cosa sono $dx$ e $dy$ presi singolarmente? Se viviene di rispondere che sono 1-forme differenziali, complimenti: avete sperimentato un abuso di notazione circostanziale, nel senso che nessuno insegna le forme differenziali prima delle equazioni differenziali a variabili separabili.
D'accordo, il metodo è mnemonico e suggestivo, ma perché non fare le cose un po' meglio, scrivendo (stiamo dando per scontato che i denominatori non siano mai nulli, ecc. ecc.)
$$
g'(y(x))y'(x) = f'(x),
$$
per concludere che la funzione $x \mapsto g(y(x))-f(x)$ ha derivata nulla, e dunque (sempre a patto che blah blah blah) è costante?

Certo, a voler evitare gli abusi di notazione, si rischia di diventare pedanti e noiosi, come le anziane professoresse di matematica del liceo. Eppure non immaginate quanti studenti arrivino a scrivere mostruosità come
$$
|1+i| = \begin{cases} 1+i &\text{se $1+i \geq 0$} \\
-1-i &\text{se $1+i <0$}.
\end{cases}
$$