La derivata, questa sconosciuta

Professore: "Mi definisca la derivata di una funzione."
Studente: "La derivata di una funzione $f$ in un punto $x_0$ è il coefficiente angolare di tale punto."
Professore: "I punti non hanno coefficiente angolare!"
Studente: "Ha ragione. Il coefficiente angolare della retta tangente."
Professore: "E che cosa sarebbe la retta tangente?"
Studente: "Ehmmmm... È quella retta che incontra il grafico una sola volta!"
Professore: "(disegnando una qualunque retta trasversale al grafico della funzione) Quindi questa retta è la retta tangente?"
Studente: "Ovviamente no! (e disegna quella giusta)"
Professore: "Come la mettiamo allora?"
Studente: "(...)"

Questo scambio di opinioni è un tema particolarmente familiare a chiunque insegni calcolo differenziale agli studenti del primo anno. Non ho capito se i colleghi delle scuole superiori si divertano a confondere le idee ai propri allievi (il mio professore, al liceo, insegnava la definizione corretta di derivata, quindi non è obbligatorio insegnare definizioni fantasiose o scorrette), ma è un dato di fatto che la definizione più classica di derivata resta ancora un mistero per troppi studenti.

Definizione. Una funzione $f \colon (a,b) \to \mathbb{R}$ è derivabile in un punto $x_0 \in (a,b)$ se esiste (finito) il limite $$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$$ Tale limite prende il nome di derivata (prima) di $f$ in $x_0$.