Ci sono valori assoluti come l'onestà, il rispetto, la solidarietà. E poi ci sono quelli matematici, che tanto fanno soffrire i miei studenti. Per la loro maggior gloria, riporto di seguito alcune considerazioni matematiche e di buon senso sull'uso del valore assoluto nell'analisi matematica elementare. Se siete miei studenti e dovete ancora superare il mio esame, meditate.
Definizione. Il valore assoluto (detto spesso anche modulo) del numero reale
x è definito come segue:
|x|=\begin{cases}x &\text{se $x \geq 0$} \\ -x &\text{se $x<0$}. \end{cases}
Ad esempio,
|112|=112,
|0|=0,
|-753|=753. Vediamo alcune proprietà.
- Per qualsiasi x \in \mathbb{R}, risulta |x| \geq 0. Anzi, |x|=0 se e solo se x=0.
- Se x \in \mathbb{R} e c \in \mathbb{R}, allora |cx|=|c|\, |x|.
- Se x e y sono numeri reali, allora |x+y|\leq |x|+|y|. Quindi no: il valore assoluto di una somma non è la somma dei valori assoluti!
- Per qualsiasi numero reale x, |x|=\max\{x,-x\}. Questa definizione è più compatta, ma meno intuitiva.
Vediamo alcuni orrori comuni.
- |x| non è "x senza segno", maledizione! Non esistono numeri reali senza segno (eccetto lo zero)!
- Il grafico di x \mapsto |x| non è quello formato da due bisettrici del piano cartesiano!
- Ancora peggio, |x| non vale \pm x.
- Il valore assoluto è una funzione continua, ma non è derivabile nell'origine. La derivata del valore assoluto nel punto x è \mathrm{sign}\, x = \frac{x}{|x|}, valida per x \neq 0. Quindi il valore assoluto non può essere dimenticato, quando calcolate una derivata che lo contiene!
- Se dovete studiare la funzione f(x)=|g(x)|, potete certamente studiare le due funzioni f_1(x)=g(x) e f_2(x)=-g(x), ma ricordate che dovete comunque mettere insieme i pezzi. A questo punto, conviene studiare direttamente la funzione senza valore assoluto, cioè f(x)=\begin{cases}g(x) &\text{se $g(x) \geq 0$}\\ -g(x) &\text{se $g(x)<0$}. \end{cases} Quindi dovrete risolvere la disequazione g(x)\geq 0 e determinare in quali intervalli dovete considerare g e in quali -g.
- Il valore assoluto è problematico negli integrali, e proprio per questo appare frequentemente nei temi d'esame. Un integrale definito come \int_{-1}^1 |x|\, dx deve essere risolto spezzando l'intervallo di integrazione [-1,1]=[-1,0] \cup [0,1], ed utilizzando la proprietà additiva dell'integrale: \int_{-1}^1 |x| \, dx = \int_{-1}^0 |x| \, dx + \int_0^1 |x| \, dx = \int_{-1}^0 (-x)\, dx + \int_0^1 x \, dx.
è chiaro quindi dalla definizione che il valore assoluto di -4 è -4, se -4>0, e 4 se -4<0... :-D
RispondiEliminaÈ bello vedere che le mie spiegazioni sono state capite ;-)
Elimina