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Riflessioni sull'insegnamento

  Corrono tempi alquanto peculiari nell'ambiente universitario. Bisogna premettere, doverosamente, che l'accademia italiana è stata a lungo un territorio vetero-feudale, cioè governato in larga misura dall'operato dei singoli docenti. Per essere concreti, tutti abbiamo sentito parlare dei famigerati professori "che non promuovevano nessuno", o di quelli che "passavano tutti al primo appello." In queso senso, i corsi di laurea avevano una trama comune piuttosto sfilacciata. Oggi tutto sta cambiando, e piuttosto velocemente. Dall'alto (nel senso di: governo, Europa, Mondo, Universo) arrivano pressanti richieste di trasparenza e omogeneità. Se un docente del 1985 poteva permettersi di insegnare praticamente ciò che voleva all'interno dei suoi corsi (con qualche vincolo, ma non troppo stringente), oggi si respira un'aria di regolamentazione sempre più forte. Questa regolamentazione non tocca, almeno in prima battuta, i contenuti degli insegnament

Valori assoluti

Ci sono valori assoluti come l'onestà, il rispetto, la solidarietà. E poi ci sono quelli matematici, che tanto fanno soffrire i miei studenti. Per la loro maggior gloria, riporto di seguito alcune considerazioni matematiche e di buon senso sull'uso del valore assoluto nell'analisi matematica elementare. Se siete miei studenti e dovete ancora superare il mio esame, meditate.

Definizione. Il valore assoluto (detto spesso anche modulo) del numero reale $x$ è definito come segue: $$|x|=\begin{cases}x &\text{se $x \geq 0$} \\ -x &\text{se $x<0$}. \end{cases}$$

Ad esempio, $|112|=112$, $|0|=0$, $|-753|=753$. Vediamo alcune proprietà.
  1. Per qualsiasi $x \in \mathbb{R}$, risulta $|x| \geq 0$. Anzi, $|x|=0$ se e solo se $x=0$.
  2. Se $x \in \mathbb{R}$ e $c \in \mathbb{R}$, allora $|cx|=|c|\, |x|$.
  3. Se $x$ e $y$ sono numeri reali, allora $|x+y|\leq |x|+|y|$. Quindi no: il valore assoluto di una somma non è la somma dei valori assoluti!
  4. Per qualsiasi numero reale $x$, $|x|=\max\{x,-x\}$. Questa definizione è più compatta, ma meno intuitiva.
Vediamo alcuni orrori comuni.
  1. $|x|$ non è "$x$ senza segno", maledizione! Non esistono numeri reali senza segno (eccetto lo zero)!
  2. Il grafico di $x \mapsto |x|$ non è quello formato da due bisettrici del piano cartesiano!
  3. Ancora peggio, $|x|$ non vale $\pm x$. 
  4. Il valore assoluto è una funzione continua, ma non è derivabile nell'origine. La derivata del valore assoluto nel punto $x$ è $\mathrm{sign}\, x = \frac{x}{|x|}$, valida per $x \neq 0$. Quindi il valore assoluto non può essere dimenticato, quando calcolate una derivata che lo contiene!
  5. Se dovete studiare la funzione $f(x)=|g(x)|$, potete certamente studiare le due funzioni $f_1(x)=g(x)$ e $f_2(x)=-g(x)$, ma ricordate che dovete comunque mettere insieme i pezzi. A questo punto, conviene studiare direttamente la funzione senza valore assoluto, cioè $$f(x)=\begin{cases}g(x) &\text{se $g(x) \geq 0$}\\ -g(x) &\text{se $g(x)<0$}. \end{cases}$$  Quindi dovrete risolvere la disequazione $g(x)\geq 0$ e determinare in quali intervalli dovete considerare $g$ e in quali $-g$.
  6. Il valore assoluto è problematico negli integrali, e proprio per questo appare frequentemente nei temi d'esame. Un integrale definito come $\int_{-1}^1 |x|\, dx$ deve essere risolto spezzando l'intervallo di integrazione $[-1,1]=[-1,0] \cup [0,1]$, ed utilizzando la proprietà additiva dell'integrale: $\int_{-1}^1 |x| \, dx = \int_{-1}^0 |x| \, dx + \int_0^1 |x| \, dx = \int_{-1}^0 (-x)\, dx + \int_0^1 x \, dx$.

Commenti

  1. è chiaro quindi dalla definizione che il valore assoluto di -4 è -4, se -4>0, e 4 se -4<0... :-D

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    Risposte
    1. È bello vedere che le mie spiegazioni sono state capite ;-)

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